Tema 3.16 Propiedades de la Transformada Inversa

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces
L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}
= c1F1(t) + c2F2(t)
Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos funciones.
L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =
4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =
= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t
Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.
L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =
L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)
= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18[(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)
= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT
Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.

PROPIEDAD DE TRANSLACION

PRIMERA
Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces  existe para s>a+c :
La traslación dede la transformada corresponde a la multiplicación de la función original 
En forma semejante  haciendo

SEGUNDA

Teorema. Si L-1{f(s)} = F(t), entonces L-1{e-as f(s)} = F(t - a) t > a; 0 t < a

Ejemplo.

Como L-1 { 1/(s2 + 1} = sen t, tenemos que

L-1 {e-(TTs/3) / s2+ 1} = sen (t - TT/3) si t > TT/3; 0 si t < TT/3.

Ejemplo 2.

L-1 e-5s

(s - 2)4 Como L-1 1 = e2t L-1 1/s4 =

(s - 2)4

(t3 e2t)/3! = (t3 e2t )/6, tenemos que

L-1 e-5s = 1/6 (t - 5)3 e2(t - 5) t > 5

(s - 2)4 0 t < 5

= 1/6(t - 5)3 e2(t - 5) u(t - 5)

FRACCIONES PARCIALES

En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuación diferencial de coeficientes constantes, la función F(s) tiene normalmente la forma:

donde:son las raíces del polinomio D(s)

Estas raíces podrán ser: reales simples, reales múltiples, complejas simples, complejas múltiples.

RAICES REALES SIMPLES

-

- Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

-

- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:

RAICES REALES MULTIPLES

Ejemplo

TEOREMA DE HEAVISIDE

Si F(z) = P(z)=Q(z) donde P(z) y Q(z) son polinomios en z de grados p y q, respectivamente, y q<p,entonces

y, por tanto, es aplicable la fórmula de inversión para hallar L-1[P(z)=Q(z)]. Si,

además, las q raíces z1; :::; zq de Q(z) son simples y no son ceros de P(z), entonces

resultado que es conocido como la fórmula de Heaviside.

Ejemplo



Además, como el polo de F con mayor parte real es z = 2; tenemos que (f) = 2:Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

La función F(s) se podrá descomponer en la siguiente forma:

Tema 3.15 Algunas Transformadas Inversas

3.14 Transformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir,  . Ahora, como  si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita   es , es decir, 

Calcule

Solución
Puesto que

tenemos que

3.13 Transformada de Laplace de la funcion Delta Dirac

Se comienza expresando la función delta de Dirac en términos de la función escalón unitario:

Según la linealidad la transformadade Laplace de esta expresión es:

Puesto que se tiene la forma indeterminada cuando tiende a , aplicamos la regla de L´Hopital:

Ejemplo:

Tema 3.12 Función Delta Dirac

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

Siendo para el caso
En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón:

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

Tema 3.11 Transformada de Laplace de 1era función periódica

Si una función periódica tiene período T, T>0, entonces,  f (t + T) = f (t). El siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función periódica se obtiene mediante integración sobre un período.

Tema 3.10 Teorema de convolucion

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f*g . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea F el operador de la transformada de Fourier, con lo que F[f] y F[g]  son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Tema 3.9 Transformada de integrales

Sea ∫ una función definida en [0,∞). La transformada de Laplace £ [∫] o ∫ (t) es la transformada integral

Es similar a la idea que llevo a la aparición de los logaritmos. O sea, convertir una operación\complicada" en otra mas \sencilla" para luego, al invertir dicha operación obtener el resultado. Es fácil comprobar que multiplicar dos números cualesquiera es mucho mas complicado que sumarlos, de ahí la utilidad e importancia que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.

Un funcional no es mas que una función definida sobre el espacio de funciones donde la integral se entiende en el sentido impropio