Tema 3.6 Propiedades de la transformada de laplace

Linealidad de la Transformada de Laplace

La definición de la transformada de Laplace mediante una integral no solamente proporciona algunas restricciones

sobre las funciones de las cuales se puede encontrar su TL, sino también algunas ventajas ya que, al ser la integral

un operador lineal, es decir que cumple

∫(kf (t) + g (t)) dt = k    ∫f (t) dt +  ∫g (t) dt

(con k una constante y f (t) y g (t) dos funciones continuas a trozos) esta misma propiedad la hereda a la TL, como

se expresa en el siguiente teorema:

Teorema ( Linealidad de la T L) Sean f (t) y g (t) dos funciones cuyas T L existen y son , respectivamente,

F (s) y G (s). Sea k una constante.

Entonces se cumple

1. L{f + g} (s) = L{f} (s) + L{g} (s)

2. L{kf} (s) = kL{f} (s)

o en forma equivalente

L {kf + g} (s) = kL{f} (s) + L {g} (s)

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1