Tema 3.16 Propiedades de la Transformada Inversa

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces
L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}
= c1F1(t) + c2F2(t)
Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos funciones.
L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =
4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =
= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t
Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.
L-1 (5s + 4)/s2 - (2s - 18)/(s2 + 9) + (24 - 30 s )/s4 =
L-1 (5/s2) + (4/s3) - [2s /(s2 + 9)] + [18/ (s2 + 9)] + (24/s4) - (30/s7/2)
= 5t + 4(t2/2!) - 2cos3t + 18[(sen3t)/3] + 24(t3/3!) - 30(t5/2/r(7/2)
= 5t + 2t2 - 2 cos 3t + 6 sen 3t + 4t3 - 16t5/2/ TT
Puesto que r(7/2)= 5/2 * 3/2 * ½ r(1/2) = (15 TT )/ 8.

PROPIEDAD DE TRANSLACION

PRIMERA
Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces  existe para s>a+c :
La traslación dede la transformada corresponde a la multiplicación de la función original 
En forma semejante  haciendo

SEGUNDA

Teorema. Si L-1{f(s)} = F(t), entonces L-1{e-as f(s)} = F(t - a) t > a; 0 t < a

Ejemplo.

Como L-1 { 1/(s2 + 1} = sen t, tenemos que

L-1 {e-(TTs/3) / s2+ 1} = sen (t - TT/3) si t > TT/3; 0 si t < TT/3.

Ejemplo 2.

L-1 e-5s

(s - 2)4 Como L-1 1 = e2t L-1 1/s4 =

(s - 2)4

(t3 e2t)/3! = (t3 e2t )/6, tenemos que

L-1 e-5s = 1/6 (t - 5)3 e2(t - 5) t > 5

(s - 2)4 0 t < 5

= 1/6(t - 5)3 e2(t - 5) u(t - 5)

FRACCIONES PARCIALES

En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuación diferencial de coeficientes constantes, la función F(s) tiene normalmente la forma:

donde:son las raíces del polinomio D(s)

Estas raíces podrán ser: reales simples, reales múltiples, complejas simples, complejas múltiples.

RAICES REALES SIMPLES

-

- Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

-

- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:

RAICES REALES MULTIPLES

Ejemplo

TEOREMA DE HEAVISIDE

Si F(z) = P(z)=Q(z) donde P(z) y Q(z) son polinomios en z de grados p y q, respectivamente, y q<p,entonces

y, por tanto, es aplicable la fórmula de inversión para hallar L-1[P(z)=Q(z)]. Si,

además, las q raíces z1; :::; zq de Q(z) son simples y no son ceros de P(z), entonces

resultado que es conocido como la fórmula de Heaviside.

Ejemplo



Además, como el polo de F con mayor parte real es z = 2; tenemos que (f) = 2:Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

La función F(s) se podrá descomponer en la siguiente forma: