Tema 3.2 Condiciones Suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

No es necesario que converja la integral que define a la transformada de Laplace. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f sea continua por tramos en [0,") y que f sea de orden exponencial para t > T.

Una función es continua por tramos en [0,") si en cualquier intervalo 0 ­­" a " t " b hay, cuando mucho, un número infinito de puntos tk, k=1, 2,...., n (tk-1 < tk), en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 < t < tk .

DEFINICIÓN DE FUNCION DE ORDEN EXPONENCIAL


Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0,

|tn| " Mect o sea |tn | " M cuando t > T

|ect|

equivale a demostrar que límt!" tn/ect es infinito para n= 1,2,3,.... El resultado se obtiene con n aplicaciones la regla de L' Hôpital.


Demostración.


L {f(t)} = " e-st f(t) dt + " e-st f(t) dt = I1 + I2.
La integral I1 existe porque se puede expresar como suma de integrales sobre intervalos donde e-st f(t) dt es continua. Ahora:

|I2| " " |e-st f(t)| dt " M " e-st ect dt

= M " e-(s-c)t dt = -M e-(s-c)t/s-c | = M e-(s-c)T/s-c,

cuando s > c. Como " Me-(s-c)t dt converge, la integral " |e-st f(t)| dt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto, a la vez, implica que I2 existe para s > c. La existencia de I1 e I2 implica que L {f(t)} = " e-st f(t) dt existe para s > c.