Tema 3.9 Transformada de integrales

Sea ∫ una función definida en [0,∞). La transformada de Laplace £ [∫] o ∫ (t) es la transformada integral

Es similar a la idea que llevo a la aparición de los logaritmos. O sea, convertir una operación\complicada" en otra mas \sencilla" para luego, al invertir dicha operación obtener el resultado. Es fácil comprobar que multiplicar dos números cualesquiera es mucho mas complicado que sumarlos, de ahí la utilidad e importancia que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.

Un funcional no es mas que una función definida sobre el espacio de funciones donde la integral se entiende en el sentido impropio

Tema 3.8 Transformada de una derivada

La siguiente propiedad nos permite aplicar la TL a la solución de una ED.

Si  ∫(t) es una función con derivada ∫’(t) entonces:

Hemos integrado por partes con:

En donde el primer límite (R →∞) se anula, y hemos denotado al segundo (t →0+ ) por ∫(0+) ya que puede ser que ∫ no esté definida en t = 0, en cuyo caso se debe calcular su límite cuando t→ 0 por la derecha; siempre que no haya confusión escribiremos ∫(0) en lugar de ∫(0+)

Es decir

Utilizando la fórmula de nuevo, vemos que, si f y sus derivadas tienen TL, se puede calcular:

Es decir:

Así también:

Entonces:

Siguiendo este razonamiento, obtenemos en general:

Tema 3.7 Transformada de funciones multiplicativos

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes

Tema 3.6 Propiedades de la transformada de laplace

Linealidad de la Transformada de Laplace

La definición de la transformada de Laplace mediante una integral no solamente proporciona algunas restricciones

sobre las funciones de las cuales se puede encontrar su TL, sino también algunas ventajas ya que, al ser la integral

un operador lineal, es decir que cumple

∫(kf (t) + g (t)) dt = k    ∫f (t) dt +  ∫g (t) dt

(con k una constante y f (t) y g (t) dos funciones continuas a trozos) esta misma propiedad la hereda a la TL, como

se expresa en el siguiente teorema:

Teorema ( Linealidad de la T L) Sean f (t) y g (t) dos funciones cuyas T L existen y son , respectivamente,

F (s) y G (s). Sea k una constante.

Entonces se cumple

1. L{f + g} (s) = L{f} (s) + L{g} (s)

2. L{kf} (s) = kL{f} (s)

o en forma equivalente

L {kf + g} (s) = kL{f} (s) + L {g} (s)

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1

Tema 3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.

Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación.

En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica:

Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t).

Tema 3.4 Transformada de laplece de funciones por tramos

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.

Tema 3.3 Tranformada de Laplace de funciones básicas